Լուծեք {l}{2x-y=2}{3x+2y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} \approx 2.285714286$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-y=2,3x+2y=11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-y=2$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=y+2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ y+2:

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Փոխարինեք \frac{y}{2}+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=11:

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)+2y=11$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{y}{2}+1:

$$\frac{3}{2}y+3+2y=11$$

Գումարեք \frac{3y}{2} 2y-ին:

$$\frac{7}{2}y+3=11$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{7}{2}y=8$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{16}{7}$$

Փոխարինեք \frac{16}{7}-ը y-ով x=\frac{1}{2}y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{16}{7}+1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ \frac{16}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{8}{7}+1$$

Գումարեք 1 \frac{8}{7}-ին:

$$x=\frac{15}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{16}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-y=2,3x+2y=11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 11\\-\frac{3}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{16}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{16}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-y=2,3x+2y=11$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\times 2y=2\times 11$$

Պարզեցնել:

$$6x-3y=6,6x+4y=22$$

Հանեք 6x+4y=22 6x-3y=6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x-3y-4y=6-22$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3y-4y=6-22$$

Գումարեք -3y -4y-ին:

$$-7y=6-22$$

Գումարեք 6 -22-ին:

$$-7y=-16$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=\frac{16}{7}$$

Փոխարինեք \frac{16}{7}-ը y-ով 3x+2y=11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\times \frac{16}{7}=11$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{16}{7}:

$$3x+\frac{32}{7}=11$$

Հանեք \frac{32}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=\frac{45}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{15}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{16}{7}$$