Լուծեք {l}{2x-y=1}{3x-2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 1 } \\ { 3 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-y=1$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ y+1:

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք \frac{1+y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-2y=4:

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-2y=4$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{1+y}{2}:

$$\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}-2y=4$$

Գումարեք \frac{3y}{2} -2y-ին:

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

Հանեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -2-ով:

$$y=-5$$

Փոխարինեք -5-ը y-ով x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -5:

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} -\frac{5}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-4\\3-2\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-2,y=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 4$$

Պարզեցնել:

$$6x-3y=3,6x-4y=8$$

Հանեք 6x-4y=8 6x-3y=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x-3y+4y=3-8$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3y+4y=3-8$$

Գումարեք -3y 4y-ին:

$$y=3-8$$

Գումարեք 3 -8-ին:

$$y=-5$$

Փոխարինեք -5-ը y-ով 3x-2y=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-2\left(-5\right)=4$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -5:

$$3x+10=4$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=-5$$