Լուծեք {l}{2x-7y=6}{y-2x=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = 6 } \\ { y - 2 x = 30 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-18$$

$$y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-7y=6,-2x+y=30$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-7y=6$$

Գումարեք 7y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=7y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(7y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 7y+6:

$$x=\frac{7}{2}y+3$$

Փոխարինեք \frac{7y}{2}+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+y=30:

$$-2\left(\frac{7}{2}y+3\right)+y=30$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{7y}{2}+3:

$$-7y-6+y=30$$

Գումարեք -7y y-ին:

$$-6y-6=30$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$-6y=36$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$y=-6$$

Փոխարինեք -6-ը y-ով x=\frac{7}{2}y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{7}{2}\left(-6\right)+3$$

Բազմապատկեք \frac{7}{2} անգամ -6:

$$x=-21+3$$

Գումարեք 3 -21-ին:

$$x=-18$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-18,y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-7y=6,-2x+y=30$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 6-\frac{7}{12}\times 30\\-\frac{1}{6}\times 6-\frac{1}{6}\times 30\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-18,y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-7y=6,-2x+y=30$$

2x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-2\times 2x-2\left(-7\right)y=-2\times 6,2\left(-2\right)x+2y=2\times 30$$

Պարզեցնել:

$$-4x+14y=-12,-4x+2y=60$$

Հանեք -4x+2y=60 -4x+14y=-12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-4x+4x+14y-2y=-12-60$$

Գումարեք -4x 4x-ին: -4x-ը և 4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$14y-2y=-12-60$$

Գումարեք 14y -2y-ին:

$$12y=-12-60$$

Գումարեք -12 -60-ին:

$$12y=-72$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$y=-6$$

Փոխարինեք -6-ը y-ով -2x+y=30-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-6=30$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=36$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-18$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-18,y=-6$$