Լուծեք {l}{2x-5y=-3}{-4x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = - 3 } \\ { - 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-5y=-3$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=5y-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 5y-3:

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5y-3}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -4x+y=-3:

$$-4\left(\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}\right)+y=-3$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{5y-3}{2}:

$$-10y+6+y=-3$$

Գումարեք -10y y-ին:

$$-9y+6=-3$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$-9y=-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5-3}{2}$$

Գումարեք -\frac{3}{2} \frac{5}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}&-\frac{5}{18}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}\left(-3\right)-\frac{5}{18}\left(-3\right)\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)-\frac{1}{9}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

2x-ը և -4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-4\times 2x-4\left(-5\right)y=-4\left(-3\right),2\left(-4\right)x+2y=2\left(-3\right)$$

Պարզեցնել:

$$-8x+20y=12,-8x+2y=-6$$

Հանեք -8x+2y=-6 -8x+20y=12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-8x+8x+20y-2y=12+6$$

Գումարեք -8x 8x-ին: -8x-ը և 8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$20y-2y=12+6$$

Գումարեք 20y -2y-ին:

$$18y=12+6$$

Գումարեք 12 6-ին:

$$18y=18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով -4x+y=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-4x+1=-3$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$-4x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$