Լուծեք {l}{2x-3y-10=0}{7y=-17-8x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 10-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$2x-3y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 8x-ը երկու կողմերում:

$$7y+8x=-17$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y=10$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3y+10:

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Փոխարինեք \frac{3y}{2}+5-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 8x+7y=-17:

$$8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17$$

Բազմապատկեք 8 անգամ \frac{3y}{2}+5:

$$12y+40+7y=-17$$

Գումարեք 12y 7y-ին:

$$19y+40=-17$$

Հանեք 40 հավասարման երկու կողմից:

$$19y=-57$$

Բաժանեք երկու կողմերը 19-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=\frac{3}{2}y+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ -3:

$$x=-\frac{9}{2}+5$$

Գումարեք 5 -\frac{9}{2}-ին:

$$x=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 10-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$2x-3y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 8x-ը երկու կողմերում:

$$7y+8x=-17$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 10-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$2x-3y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 8x-ը երկու կողմերում:

$$7y+8x=-17$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

2x-ը և 8x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 8-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Պարզեցնել:

$$16x-24y=80,16x+14y=-34$$

Հանեք 16x+14y=-34 16x-24y=80-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$16x-16x-24y-14y=80+34$$

Գումարեք 16x -16x-ին: 16x-ը և -16x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-24y-14y=80+34$$

Գումարեք -24y -14y-ին:

$$-38y=80+34$$

Գումարեք 80 34-ին:

$$-38y=114$$

Բաժանեք երկու կողմերը -38-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով 8x+7y=-17-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$8x+7\left(-3\right)=-17$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -3:

$$8x-21=-17$$

Գումարեք 21 հավասարման երկու կողմին:

$$8x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$