Լուծեք {l}{2x-3y=1}{3x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { 3 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{8}{19}\approx 0.421052632$$

$$y=-\frac{1}{19}\approx -0.052631579$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y=1$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3y+1:

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3y+1}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+5y=1:

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+5y=1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{3y+1}{2}:

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}+5y=1$$

Գումարեք \frac{9y}{2} 5y-ին:

$$\frac{19}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Հանեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{19}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{19}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{1}{19}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{19}-ը y-ով x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{19}\right)+\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ -\frac{1}{19}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{3}{38}+\frac{1}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} -\frac{3}{38}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{8}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5+3}{19}\\\frac{-3+2}{19}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\\-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3,2\times 3x+2\times 5y=2$$

Պարզեցնել:

$$6x-9y=3,6x+10y=2$$

Հանեք 6x+10y=2 6x-9y=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x-9y-10y=3-2$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-9y-10y=3-2$$

Գումարեք -9y -10y-ին:

$$-19y=3-2$$

Գումարեք 3 -2-ին:

$$-19y=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -19-ի:

$$y=-\frac{1}{19}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{19}-ը y-ով 3x+5y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+5\left(-\frac{1}{19}\right)=1$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{1}{19}:

$$3x-\frac{5}{19}=1$$

Գումարեք \frac{5}{19} հավասարման երկու կողմին:

$$3x=\frac{24}{19}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{8}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$