Լուծեք {l}{2x-3y=1}{x+1/3+1=5-y/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { \frac { x + 1 } { 3 } + 1 = \frac { 5 - y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Գումարեք 2 և 6 և ստացեք 8:

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 5-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+8=15-3y$$

Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$2x+8+3y=15$$

Հանեք 8 երկու կողմերից:

$$2x+3y=15-8$$

Հանեք 8 15-ից և ստացեք 7:

$$2x+3y=7$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y=1$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3y+1:

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3y+1}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=7:

$$2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3y=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{3y+1}{2}:

$$3y+1+3y=7$$

Գումարեք 3y 3y-ին:

$$6y+1=7$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$6y=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3+1}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} \frac{3}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Գումարեք 2 և 6 և ստացեք 8:

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 5-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+8=15-3y$$

Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$2x+8+3y=15$$

Հանեք 8 երկու կողմերից:

$$2x+3y=15-8$$

Հանեք 8 15-ից և ստացեք 7:

$$2x+3y=7$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Գումարեք 2 և 6 և ստացեք 8:

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 5-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+8=15-3y$$

Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$2x+8+3y=15$$

Հանեք 8 երկու կողմերից:

$$2x+3y=15-8$$

Հանեք 8 15-ից և ստացեք 7:

$$2x+3y=7$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Հանեք 2x+3y=7 2x-3y=1-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x-3y-3y=1-7$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3y-3y=1-7$$

Գումարեք -3y -3y-ին:

$$-6y=1-7$$

Գումարեք 1 -7-ին:

$$-6y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով 2x+3y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3=7$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=1$$