Լուծեք {l}{2x-3y=-5}{4x+9y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 4 x + 9 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y=-5$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3y-5:

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3y-5}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+9y=-7:

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+9y=-7$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{3y-5}{2}:

$$6y-10+9y=-7$$

Գումարեք 6y 9y-ին:

$$15y-10=-7$$

Գումարեք 10 հավասարման երկու կողմին:

$$15y=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$y=\frac{1}{5}$$

Փոխարինեք \frac{1}{5}-ը y-ով x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}-\frac{5}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ \frac{1}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{3}{10}-\frac{5}{2}$$

Գումարեք -\frac{5}{2} \frac{3}{10}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{11}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\left(-7\right)\\-\frac{2}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-5\right),2\times 4x+2\times 9y=2\left(-7\right)$$

Պարզեցնել:

$$8x-12y=-20,8x+18y=-14$$

Հանեք 8x+18y=-14 8x-12y=-20-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x-12y-18y=-20+14$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-12y-18y=-20+14$$

Գումարեք -12y -18y-ին:

$$-30y=-20+14$$

Գումարեք -20 14-ին:

$$-30y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -30-ի:

$$y=\frac{1}{5}$$

Փոխարինեք \frac{1}{5}-ը y-ով 4x+9y=-7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+9\times \frac{1}{5}=-7$$

Բազմապատկեք 9 անգամ \frac{1}{5}:

$$4x+\frac{9}{5}=-7$$

Հանեք \frac{9}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-\frac{44}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=-\frac{11}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$