Լուծեք {l}{2x-3-2y=3}{2x-3+2y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 - 2 y = 3 } \\ { 2 x - 3 + 2 y = 19 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=7$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-2y-3=3,2x+2y-3=19$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-2y-3=3$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$2x-2y=6$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=2y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 6+2y:

$$x=y+3$$

Փոխարինեք y+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+2y-3=19:

$$2\left(y+3\right)+2y-3=19$$

Բազմապատկեք 2 անգամ y+3:

$$2y+6+2y-3=19$$

Գումարեք 2y 2y-ին:

$$4y+6-3=19$$

Գումարեք 6 -3-ին:

$$4y+3=19$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$4y=16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=4+3$$

Գումարեք 3 4-ին:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-2y-3=3,2x+2y-3=19$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=7,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-2y-3=3,2x+2y-3=19$$

Հանեք 2x+2y-3=19 2x-2y-3=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x-2y-2y-3+3=3-19$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y-2y-3+3=3-19$$

Գումարեք -2y -2y-ին:

$$-4y-3+3=3-19$$

Գումարեք -3 3-ին:

$$-4y=3-19$$

Գումարեք 3 -19-ին:

$$-4y=-16$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 2x+2y-3=19-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+2\times 4-3=19$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$2x+8-3=19$$

Գումարեք 8 -3-ին:

$$2x+5=19$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=4$$