Լուծեք {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=6$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-15=3y+6$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$2x-15-3y=6$$

Հավելել 15-ը երկու կողմերում:

$$2x-3y=6+15$$

Գումարեք 6 և 15 և ստացեք 21:

$$2x-3y=21$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 7 x-4-ով բազմապատկելու համար:

$$7x-28=-1-5y$$

Հավելել 5y-ը երկու կողմերում:

$$7x-28+5y=-1$$

Հավելել 28-ը երկու կողմերում:

$$7x+5y=-1+28$$

Գումարեք -1 և 28 և ստացեք 27:

$$7x+5y=27$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y=21$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y+21$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 21+3y:

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

Փոխարինեք \frac{21+3y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x+5y=27:

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

Բազմապատկեք 7 անգամ \frac{21+3y}{2}:

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

Գումարեք \frac{21y}{2} 5y-ին:

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

Հանեք \frac{147}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{31}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ -3:

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

Գումարեք \frac{21}{2} -\frac{9}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-15=3y+6$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$2x-15-3y=6$$

Հավելել 15-ը երկու կողմերում:

$$2x-3y=6+15$$

Գումարեք 6 և 15 և ստացեք 21:

$$2x-3y=21$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 7 x-4-ով բազմապատկելու համար:

$$7x-28=-1-5y$$

Հավելել 5y-ը երկու կողմերում:

$$7x-28+5y=-1$$

Հավելել 28-ը երկու կողմերում:

$$7x+5y=-1+28$$

Գումարեք -1 և 28 և ստացեք 27:

$$7x+5y=27$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=6,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-15=3y+6$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$2x-15-3y=6$$

Հավելել 15-ը երկու կողմերում:

$$2x-3y=6+15$$

Գումարեք 6 և 15 և ստացեք 21:

$$2x-3y=21$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 7 x-4-ով բազմապատկելու համար:

$$7x-28=-1-5y$$

Հավելել 5y-ը երկու կողմերում:

$$7x-28+5y=-1$$

Հավելել 28-ը երկու կողմերում:

$$7x+5y=-1+28$$

Գումարեք -1 և 28 և ստացեք 27:

$$7x+5y=27$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

2x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

Պարզեցնել:

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

Հանեք 14x+10y=54 14x-21y=147-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

Գումարեք 14x -14x-ին: 14x-ը և -14x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-21y-10y=147-54$$

Գումարեք -21y -10y-ին:

$$-31y=147-54$$

Գումարեք 147 -54-ին:

$$-31y=93$$

Բաժանեք երկու կողմերը -31-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով 7x+5y=27-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -3:

$$7x-15=27$$

Գումարեք 15 հավասարման երկու կողմին:

$$7x=42$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-3$$