Լուծեք {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=6$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+6:

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Փոխարինեք -\frac{y}{2}+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x-y=7:

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{y}{2}+3:

$$-2y+12-y=7$$

Գումարեք -2y -y-ին:

$$-3y+12=7$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$-3y=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=\frac{5}{3}$$

Փոխարինեք \frac{5}{3}-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ \frac{5}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

Գումարեք 3 -\frac{5}{6}-ին:

$$x=\frac{13}{6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=6,4x-y=7$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Պարզեցնել:

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

Հանեք 8x-2y=14 8x+4y=24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y+2y=24-14$$

Գումարեք 4y 2y-ին:

$$6y=24-14$$

Գումարեք 24 -14-ին:

$$6y=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=\frac{5}{3}$$

Փոխարինեք \frac{5}{3}-ը y-ով 4x-y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

Գումարեք \frac{5}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$4x=\frac{26}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{13}{6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$