Լուծեք {l}{2x+y=4}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=4$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=4$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+4:

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Փոխարինեք -\frac{y}{2}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=4:

$$3\left(-\frac{1}{2}y+2\right)+2y=4$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{y}{2}+2:

$$-\frac{3}{2}y+6+2y=4$$

Գումարեք -\frac{3y}{2} 2y-ին:

$$\frac{1}{2}y+6=4$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{2}y=-2$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)+2$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -4:

$$x=2+2$$

Գումարեք 2 2-ին:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4-4\\-3\times 4+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=4,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 4$$

Պարզեցնել:

$$6x+3y=12,6x+4y=8$$

Հանեք 6x+4y=8 6x+3y=12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+3y-4y=12-8$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y-4y=12-8$$

Գումարեք 3y -4y-ին:

$$-y=12-8$$

Գումարեք 12 -8-ին:

$$-y=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով 3x+2y=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\left(-4\right)=4$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -4:

$$3x-8=4$$

Գումարեք 8 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=-4$$