Լուծեք {l}{2x+y=0}{3x+8y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 0 } \\ { 3 x + 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{7}{13}\approx -0.538461538$$

$$y = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=0$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)y$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y:

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Փոխարինեք -\frac{y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+8y=7:

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)y+8y=7$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{y}{2}:

$$-\frac{3}{2}y+8y=7$$

Գումարեք -\frac{3y}{2} 8y-ին:

$$\frac{13}{2}y=7$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{13}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{14}{13}$$

Փոխարինեք \frac{14}{13}-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{14}{13}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ \frac{14}{13}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{7}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-3}&-\frac{1}{2\times 8-3}\\-\frac{3}{2\times 8-3}&\frac{2}{2\times 8-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 7\\\frac{2}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{13}\\\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3y=0,2\times 3x+2\times 8y=2\times 7$$

Պարզեցնել:

$$6x+3y=0,6x+16y=14$$

Հանեք 6x+16y=14 6x+3y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+3y-16y=-14$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y-16y=-14$$

Գումարեք 3y -16y-ին:

$$-13y=-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -13-ի:

$$y=\frac{14}{13}$$

Փոխարինեք \frac{14}{13}-ը y-ով 3x+8y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+8\times \frac{14}{13}=7$$

Բազմապատկեք 8 անգամ \frac{14}{13}:

$$3x+\frac{112}{13}=7$$

Հանեք \frac{112}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-\frac{21}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{7}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$