Լուծեք {l}{2x+y=-3m+2}{x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 3 m + 2 } \\ { x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-2m$$

$$y=m+2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=2-3m,x+2y=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=2-3m$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+2-3m$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+2-3m\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y-3m+2:

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{3m}{2}+1$$

Փոխարինեք -\frac{y}{2}-\frac{3m}{2}+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+2y=4:

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3m}{2}+1+2y=4$$

Գումարեք -\frac{y}{2} 2y-ին:

$$\frac{3}{2}y-\frac{3m}{2}+1=4$$

Հանեք -\frac{3m}{2}+1 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{3}{2}y=\frac{3m}{2}+3$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=m+2$$

Փոխարինեք 2+m-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y-\frac{3m}{2}+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\left(m+2\right)-\frac{3m}{2}+1$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 2+m:

$$x=-\frac{m}{2}-1-\frac{3m}{2}+1$$

Գումարեք -\frac{3m}{2}+1 -1-\frac{m}{2}-ին:

$$x=-2m$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2m,y=m+2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=2-3m,x+2y=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(2-3m\right)-\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{1}{3}\left(2-3m\right)+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2m\\m+2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-2m,y=m+2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=2-3m,x+2y=4$$

2x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2x+y=2-3m,2x+2\times 2y=2\times 4$$

Պարզեցնել:

$$2x+y=2-3m,2x+4y=8$$

Հանեք 2x+4y=8 2x+y=2-3m-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+y-4y=2-3m-8$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y-4y=2-3m-8$$

Գումարեք y -4y-ին:

$$-3y=2-3m-8$$

Գումարեք -3m+2 -8-ին:

$$-3y=-3m-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=m+2$$

Փոխարինեք 2+m-ը y-ով x+2y=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+2\left(m+2\right)=4$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2+m:

$$x+2m+4=4$$

Հանեք 4+2m հավասարման երկու կողմից:

$$x=-2m$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2m,y=m+2$$