Լուծեք {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+9y=19$$

Հանեք 9y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-9y+19$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -9y+19:

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-9y+19}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+my=53:

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-9y+19}{2}:

$$-18y+38+my=53$$

Գումարեք -18y my-ին:

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

Հանեք 38 հավասարման երկու կողմից:

$$\left(m-18\right)y=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -18+m-ի:

$$y=\frac{15}{m-18}$$

Փոխարինեք \frac{15}{-18+m}-ը y-ով x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{9}{2} անգամ \frac{15}{-18+m}:

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

Գումարեք \frac{19}{2} -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}-ին:

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

Պարզեցնել:

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

Հանեք 8x+2my=106 8x+36y=76-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Գումարեք 36y -2my-ին:

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

Գումարեք 76 -106-ին:

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 36-2m-ի:

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

Փոխարինեք -\frac{15}{18-m}-ը y-ով 4x+my=53-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

Բազմապատկեք m անգամ -\frac{15}{18-m}:

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

Գումարեք \frac{15m}{18-m} հավասարման երկու կողմին:

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$