Լուծեք {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+8y=16$$

Հանեք 8y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-8y+16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -8y+16:

$$x=-4y+8$$

Փոխարինեք -4y+8-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+2y+11=0:

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -4y+8:

$$4y-8+2y+11=0$$

Գումարեք 4y 2y-ին:

$$6y-8+11=0$$

Գումարեք -8 11-ին:

$$6y+3=0$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$6y=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=-\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{2}-ը y-ով x=-4y+8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -\frac{1}{2}:

$$x=2+8$$

Գումարեք 8 2-ին:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

2x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

Պարզեցնել:

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

Հանեք -2x+4y+22=0 -2x-8y=-16-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-8y-4y-22=-16$$

Գումարեք -8y -4y-ին:

$$-12y-22=-16$$

Գումարեք 22 հավասարման երկու կողմին:

$$-12y=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -12-ի:

$$y=-\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{2}-ը y-ով -x+2y+11=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{1}{2}:

$$-x-1+11=0$$

Գումարեք -1 11-ին:

$$-x+10=0$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$