Լուծեք {l}{2x+7y=15}{3x-5y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+7y=15$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-7y+15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -7y+15:

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-7y+15}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-5y=23:

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-7y+15}{2}:

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

Գումարեք -\frac{21y}{2} -5y-ին:

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

Հանեք \frac{45}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{31}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{1}{31}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{31}-ը y-ով x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{2} անգամ -\frac{1}{31}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

Գումարեք \frac{15}{2} \frac{7}{62}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{236}{31}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

Պարզեցնել:

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

Հանեք 6x-10y=46 6x+21y=45-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$21y+10y=45-46$$

Գումարեք 21y 10y-ին:

$$31y=45-46$$

Գումարեք 45 -46-ին:

$$31y=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 31-ի:

$$y=-\frac{1}{31}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{31}-ը y-ով 3x-5y=23-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -\frac{1}{31}:

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

Հանեք \frac{5}{31} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=\frac{708}{31}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{236}{31}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$