Լուծեք {l}{2x+5y=1}{4x-2y=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 1 } \\ { 4 x - 2 y = 14 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+5y=1,4x-2y=14$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+5y=1$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-5y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -5y+1:

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-5y+1}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x-2y=14:

$$4\left(-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)-2y=14$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-5y+1}{2}:

$$-10y+2-2y=14$$

Գումարեք -10y -2y-ին:

$$-12y+2=14$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-12y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -12-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{2} անգամ -1:

$$x=\frac{5+1}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} \frac{5}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+5y=1,4x-2y=14$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&5\\4&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 4}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-2\right)-5\times 4}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}+\frac{5}{24}\times 14\\\frac{1}{6}-\frac{1}{12}\times 14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+5y=1,4x-2y=14$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\times 5y=4,2\times 4x+2\left(-2\right)y=2\times 14$$

Պարզեցնել:

$$8x+20y=4,8x-4y=28$$

Հանեք 8x-4y=28 8x+20y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x+20y+4y=4-28$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$20y+4y=4-28$$

Գումարեք 20y 4y-ին:

$$24y=4-28$$

Գումարեք 4 -28-ին:

$$24y=-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 24-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով 4x-2y=14-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-2\left(-1\right)=14$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -1:

$$4x+2=14$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-1$$