Լուծեք {l}{2x+3y=7,80}{5x+4y=13,20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7,80 } \\ { 5 x + 4 y = 13,20 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1,2$$

$$y=1,8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=7,8$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+7,8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7,8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+7,8:

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+4y=13,2:

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}\right)+4y=13,2$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10}:

$$-\frac{15}{2}y+\frac{39}{2}+4y=13,2$$

Գումարեք -\frac{15y}{2} 4y-ին:

$$-\frac{7}{2}y+\frac{39}{2}=13,2$$

Հանեք \frac{39}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{63}{10}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{7}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{9}{5}$$

Փոխարինեք \frac{9}{5}-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{5}+\frac{39}{10}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ \frac{9}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{-27+39}{10}$$

Գումարեք \frac{39}{10} -\frac{27}{10}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{6}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 7,8+\frac{3}{7}\times 13,2\\\frac{5}{7}\times 7,8-\frac{2}{7}\times 13,2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7,8;2\times 5x+2\times 4y=2\times 13,2$$

Պարզեցնել:

$$10x+15y=39;10x+8y=26,4$$

Հանեք 10x+8y=26,4 10x+15y=39-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x+15y-8y=39-26,4$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y-8y=39-26,4$$

Գումարեք 15y -8y-ին:

$$7y=39-26,4$$

Գումարեք 39 -26,4-ին:

$$7y=12,6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=\frac{9}{5}$$

Փոխարինեք \frac{9}{5}-ը y-ով 5x+4y=13,2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+4\times \frac{9}{5}=13,2$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{9}{5}:

$$5x+\frac{36}{5}=13,2$$

Հանեք \frac{36}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$5x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{6}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$