Լուծեք {l}{2x+3y=4}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=4$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+4:

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=7:

$$3\left(-\frac{3}{2}y+2\right)+2y=7$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{3y}{2}+2:

$$-\frac{9}{2}y+6+2y=7$$

Գումարեք -\frac{9y}{2} 2y-ին:

$$-\frac{5}{2}y+6=7$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{2}y=1$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{2}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{2}{5}-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{2}{5}\right)+2$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ -\frac{2}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{3}{5}+2$$

Գումարեք 2 \frac{3}{5}-ին:

$$x=\frac{13}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 7\\\frac{3}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 7$$

Պարզեցնել:

$$6x+9y=12,6x+4y=14$$

Հանեք 6x+4y=14 6x+9y=12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+9y-4y=12-14$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y-4y=12-14$$

Գումարեք 9y -4y-ին:

$$5y=12-14$$

Գումարեք 12 -14-ին:

$$5y=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-\frac{2}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{2}{5}-ը y-ով 3x+2y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\left(-\frac{2}{5}\right)=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{2}{5}:

$$3x-\frac{4}{5}=7$$

Գումարեք \frac{4}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$3x=\frac{39}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{13}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$