Լուծեք {l}{2x+3y=15.5p}{5x+6y=350}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 15.5 p } \\ { 5 x + 6 y = 350 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=350-31p$$

$$y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=\frac{31p}{2},5x+6y=350$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=\frac{31p}{2}$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+\frac{31p}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+\frac{31p}{2}\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+\frac{31p}{2}:

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{31p}{4}$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+\frac{31p}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+6y=350:

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{31p}{4}\right)+6y=350$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{3y}{2}+\frac{31p}{4}:

$$-\frac{15}{2}y+\frac{155p}{4}+6y=350$$

Գումարեք -\frac{15y}{2} 6y-ին:

$$-\frac{3}{2}y+\frac{155p}{4}=350$$

Հանեք \frac{155p}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{155p}{4}+350$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{3}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{700}{3}+\frac{155p}{6}-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+\frac{31p}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\left(\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}\right)+\frac{31p}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ -\frac{700}{3}+\frac{155p}{6}:

$$x=-\frac{155p}{4}+350+\frac{31p}{4}$$

Գումարեք \frac{31p}{4} 350-\frac{155p}{4}-ին:

$$x=350-31p$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=350-31p,y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=\frac{31p}{2},5x+6y=350$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 6-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-3\times 5}&\frac{2}{2\times 6-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times \frac{31p}{2}+350\\\frac{5}{3}\times \frac{31p}{2}-\frac{2}{3}\times 350\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350-31p\\\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=350-31p,y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=\frac{31p}{2},5x+6y=350$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times \frac{31p}{2},2\times 5x+2\times 6y=2\times 350$$

Պարզեցնել:

$$10x+15y=\frac{155p}{2},10x+12y=700$$

Հանեք 10x+12y=700 10x+15y=\frac{155p}{2}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x+15y-12y=\frac{155p}{2}-700$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y-12y=\frac{155p}{2}-700$$

Գումարեք 15y -12y-ին:

$$3y=\frac{155p}{2}-700$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{700}{3}+\frac{155p}{6}-ը y-ով 5x+6y=350-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+6\left(\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}\right)=350$$

Բազմապատկեք 6 անգամ -\frac{700}{3}+\frac{155p}{6}:

$$5x+155p-1400=350$$

Հանեք -1400+155p հավասարման երկու կողմից:

$$5x=1750-155p$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=350-31p$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=350-31p,y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$