Լուծեք {l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$2x+10-4y=-16x$$

Հավելել 16x-ը երկու կողմերում:

$$2x+10-4y+16x=0$$

Համակցեք 2x և 16x և ստացեք 18x:

$$18x+10-4y=0$$

Հանեք 10 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$18x-4y=-10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 11y երկու կողմերից:

$$10y-10x-11y=-12x$$

Համակցեք 10y և -11y և ստացեք -y:

$$-y-10x=-12x$$

Հավելել 12x-ը երկու կողմերում:

$$-y-10x+12x=0$$

Համակցեք -10x և 12x և ստացեք 2x:

$$-y+2x=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$18x-4y=-10$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$18x=4y-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{18} անգամ 4y-10:

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

Փոխարինեք \frac{2y-5}{9}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-y=0:

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{2y-5}{9}:

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

Գումարեք \frac{4y}{9} -y-ին:

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

Գումարեք \frac{10}{9} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{9}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{9} անգամ -2:

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

Գումարեք -\frac{5}{9} -\frac{4}{9}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$2x+10-4y=-16x$$

Հավելել 16x-ը երկու կողմերում:

$$2x+10-4y+16x=0$$

Համակցեք 2x և 16x և ստացեք 18x:

$$18x+10-4y=0$$

Հանեք 10 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$18x-4y=-10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 11y երկու կողմերից:

$$10y-10x-11y=-12x$$

Համակցեք 10y և -11y և ստացեք -y:

$$-y-10x=-12x$$

Հավելել 12x-ը երկու կողմերում:

$$-y-10x+12x=0$$

Համակցեք -10x և 12x և ստացեք 2x:

$$-y+2x=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$2x+10-4y=-16x$$

Հավելել 16x-ը երկու կողմերում:

$$2x+10-4y+16x=0$$

Համակցեք 2x և 16x և ստացեք 18x:

$$18x+10-4y=0$$

Հանեք 10 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$18x-4y=-10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 11y երկու կողմերից:

$$10y-10x-11y=-12x$$

Համակցեք 10y և -11y և ստացեք -y:

$$-y-10x=-12x$$

Հավելել 12x-ը երկու կողմերում:

$$-y-10x+12x=0$$

Համակցեք -10x և 12x և ստացեք 2x:

$$-y+2x=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

18x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 18-ով:

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

Պարզեցնել:

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

Հանեք 36x-18y=0 36x-8y=-20-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

Գումարեք 36x -36x-ին: 36x-ը և -36x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-8y+18y=-20$$

Գումարեք -8y 18y-ին:

$$10y=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով 2x-y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-\left(-2\right)=0$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-2$$