Լուծեք {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել p, m-ի համար

$$p=-2$$

$$m=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն p-ի համար՝ առանձնացնելով p-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2p+3m=8$$

Հանեք 3m հավասարման երկու կողմից:

$$2p=-3m+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3m+8:

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

Փոխարինեք -\frac{3m}{2}+4-ը p-ով մյուս հավասարման մեջ՝ p+2m=6:

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

Գումարեք -\frac{3m}{2} 2m-ին:

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{2}m=2$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$m=4$$

Փոխարինեք 4-ը m-ով p=-\frac{3}{2}m+4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես p-ի համար:

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 4:

$$p=-6+4$$

Գումարեք 4 -6-ին:

$$p=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=-2,m=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի p և m տարրերը:

$$p=-2,m=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

2p-ը և p-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

Պարզեցնել:

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

Հանեք 2p+4m=12 2p+3m=8-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

Գումարեք 2p -2p-ին: 2p-ը և -2p-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3m-4m=8-12$$

Գումարեք 3m -4m-ին:

$$-m=8-12$$

Գումարեք 8 -12-ին:

$$-m=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$m=4$$

Փոխարինեք 4-ը m-ով p+2m=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես p-ի համար:

$$p+2\times 4=6$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$p+8=6$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$p=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=-2,m=4$$