Լուծեք {l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

Լուծել m, n-ի համար

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 4n երկու կողմերից:

$$-m+5-4n=0$$

Հանեք 5 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-m-4n=-5$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն m-ի համար՝ առանձնացնելով m-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2m-3n=130$$

Գումարեք 3n հավասարման երկու կողմին:

$$2m=3n+130$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3n+130:

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

Փոխարինեք \frac{3n}{2}+65-ը m-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -m-4n=-5:

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{3n}{2}+65:

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

Գումարեք -\frac{3n}{2} -4n-ին:

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

Գումարեք 65 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{11}{2}n=60$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{11}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$n=-\frac{120}{11}$$

Փոխարինեք -\frac{120}{11}-ը n-ով m=\frac{3}{2}n+65-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ -\frac{120}{11}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

Գումարեք 65 -\frac{180}{11}-ին:

$$m=\frac{535}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 4n երկու կողմերից:

$$-m+5-4n=0$$

Հանեք 5 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-m-4n=-5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի m և n տարրերը:

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 4n երկու կողմերից:

$$-m+5-4n=0$$

Հանեք 5 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-m-4n=-5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

2m-ը և -m-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

Պարզեցնել:

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

Հանեք -2m-8n=-10 -2m+3n=-130-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

Գումարեք -2m 2m-ին: -2m-ը և 2m-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3n+8n=-130+10$$

Գումարեք 3n 8n-ին:

$$11n=-130+10$$

Գումարեք -130 10-ին:

$$11n=-120$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$n=-\frac{120}{11}$$

Փոխարինեք -\frac{120}{11}-ը n-ով -m-4n=-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -\frac{120}{11}:

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

Հանեք \frac{480}{11} հավասարման երկու կողմից:

$$-m=-\frac{535}{11}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$m=\frac{535}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$