Լուծեք {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2ax+by=14$$

Հանեք by հավասարման երկու կողմից:

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2a-ի:

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2a} անգամ -by+14:

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Փոխարինեք \frac{-by+14}{2a}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+9y=-19:

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{-by+14}{2a}:

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Գումարեք \frac{by}{a} 9y-ին:

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Գումարեք \frac{14}{a} հավասարման երկու կողմին:

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9+\frac{b}{a}-ի:

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Փոխարինեք \frac{14-19a}{9a+b}-ը y-ով x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Բազմապատկեք -\frac{b}{2a} անգամ \frac{14-19a}{9a+b}:

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Գումարեք \frac{7}{a} -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}-ին:

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2a-ով:

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Պարզեցնել:

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Հանեք \left(-4a\right)x+18ay=-38a \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Գումարեք -4ax 4ax-ին: -4ax-ը և 4ax-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Գումարեք -2by -18ay-ին:

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Գումարեք -28 38a-ին:

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2b-18a-ի:

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Փոխարինեք -\frac{-14+19a}{b+9a}-ը y-ով -2x+9y=-19-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -\frac{-14+19a}{b+9a}:

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Գումարեք \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2ax+by=14$$

Հանեք by հավասարման երկու կողմից:

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2a-ի:

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2a} անգամ -by+14:

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Փոխարինեք \frac{-by+14}{2a}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+9y=-19:

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{-by+14}{2a}:

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Գումարեք \frac{by}{a} 9y-ին:

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Գումարեք \frac{14}{a} հավասարման երկու կողմին:

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9+\frac{b}{a}-ի:

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Փոխարինեք \frac{14-19a}{9a+b}-ը y-ով x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Բազմապատկեք -\frac{b}{2a} անգամ \frac{14-19a}{9a+b}:

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Գումարեք \frac{7}{a} -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}-ին:

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2a-ով:

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Պարզեցնել:

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Հանեք \left(-4a\right)x+18ay=-38a \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Գումարեք -4ax 4ax-ին: -4ax-ը և 4ax-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Գումարեք -2by -18ay-ին:

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Գումարեք -28 38a-ին:

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2b-18a-ի:

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Փոխարինեք -\frac{-14+19a}{b+9a}-ը y-ով -2x+9y=-19-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -\frac{-14+19a}{b+9a}:

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Գումարեք \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$