Լուծեք {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=5$$

$$b=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2a+3b=4$$

Հանեք 3b հավասարման երկու կողմից:

$$2a=-3b+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3b+4:

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

Փոխարինեք -\frac{3b}{2}+2-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2a+3b=-16:

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{3b}{2}+2:

$$3b-4+3b=-16$$

Գումարեք 3b 3b-ին:

$$6b-4=-16$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$6b=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$b=-2$$

Փոխարինեք -2-ը b-ով a=-\frac{3}{2}b+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ -2:

$$a=3+2$$

Գումարեք 2 3-ին:

$$a=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=5,b=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=5,b=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Հանեք -2a+3b=-16 2a+3b=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

Գումարեք 3b -3b-ին: 3b-ը և -3b-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2a+2a=4+16$$

Գումարեք 2a 2a-ին:

$$4a=4+16$$

Գումարեք 4 16-ին:

$$4a=20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$a=5$$

Փոխարինեք 5-ը a-ով -2a+3b=-16-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես b-ի համար:

$$-2\times 5+3b=-16$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 5:

$$-10+3b=-16$$

Գումարեք 10 հավասարման երկու կողմին:

$$3b=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$b=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=5,b=-2$$