Լուծեք {l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 6x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$2-y=12x+6+y$$

Հանեք 12x երկու կողմերից:

$$2-y-12x=6+y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2-y-12x-y=6$$

Համակցեք -y և -y և ստացեք -2y:

$$2-2y-12x=6$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$-2y-12x=6-2$$

Հանեք 2 6-ից և ստացեք 4:

$$-2y-12x=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x+4-3y=0$$

Հանեք 4 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x-3y=-4$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-2y-12x=4$$

Գումարեք 12x հավասարման երկու կողմին:

$$-2y=12x+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 12x+4:

$$y=-6x-2$$

Փոխարինեք -6x-2-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3y+x=-4:

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -6x-2:

$$18x+6+x=-4$$

Գումարեք 18x x-ին:

$$19x+6=-4$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$19x=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 19-ի:

$$x=-\frac{10}{19}$$

Փոխարինեք -\frac{10}{19}-ը x-ով y=-6x-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

Բազմապատկեք -6 անգամ -\frac{10}{19}:

$$y=\frac{60}{19}-2$$

Գումարեք -2 \frac{60}{19}-ին:

$$y=\frac{22}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 6x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$2-y=12x+6+y$$

Հանեք 12x երկու կողմերից:

$$2-y-12x=6+y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2-y-12x-y=6$$

Համակցեք -y և -y և ստացեք -2y:

$$2-2y-12x=6$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$-2y-12x=6-2$$

Հանեք 2 6-ից և ստացեք 4:

$$-2y-12x=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x+4-3y=0$$

Հանեք 4 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x-3y=-4$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 6x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$2-y=12x+6+y$$

Հանեք 12x երկու կողմերից:

$$2-y-12x=6+y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2-y-12x-y=6$$

Համակցեք -y և -y և ստացեք -2y:

$$2-2y-12x=6$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$-2y-12x=6-2$$

Հանեք 2 6-ից և ստացեք 4:

$$-2y-12x=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x+4-3y=0$$

Հանեք 4 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x-3y=-4$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

-2y-ը և -3y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -2-ով:

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

Պարզեցնել:

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

Հանեք 6y-2x=8 6y+36x=-12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

Գումարեք 6y -6y-ին: 6y-ը և -6y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$36x+2x=-12-8$$

Գումարեք 36x 2x-ին:

$$38x=-12-8$$

Գումարեք -12 -8-ին:

$$38x=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 38-ի:

$$x=-\frac{10}{19}$$

Փոխարինեք -\frac{10}{19}-ը x-ով -3y+x=-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

Գումարեք \frac{10}{19} հավասարման երկու կողմին:

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=\frac{22}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$