Լուծեք {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) + 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+6=3y+3+1$$

Գումարեք 3 և 1 և ստացեք 4:

$$2x+6=3y+4$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$2x+6-3y=4$$

Հանեք 6 երկու կողմերից:

$$2x-3y=4-6$$

Հանեք 6 4-ից և ստացեք -2:

$$2x-3y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Գումարեք -4 և 3 և ստացեք -1:

$$3x-3y-3=2x-1$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Համակցեք 3x և -2x և ստացեք x:

$$x-3y-3=-1$$

Հավելել 3-ը երկու կողմերում:

$$x-3y=-1+3$$

Գումարեք -1 և 3 և ստացեք 2:

$$x-3y=2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y=-2$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3y-2:

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Փոխարինեք \frac{3y}{2}-1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-3y=2:

$$\frac{3}{2}y-1-3y=2$$

Գումարեք \frac{3y}{2} -3y-ին:

$$-\frac{3}{2}y-1=2$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{3}{2}y=3$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{3}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=\frac{3}{2}y-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)-1$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ -2:

$$x=-3-1$$

Գումարեք -1 -3-ին:

$$x=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-4,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+6=3y+3+1$$

Գումարեք 3 և 1 և ստացեք 4:

$$2x+6=3y+4$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$2x+6-3y=4$$

Հանեք 6 երկու կողմերից:

$$2x-3y=4-6$$

Հանեք 6 4-ից և ստացեք -2:

$$2x-3y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Գումարեք -4 և 3 և ստացեք -1:

$$3x-3y-3=2x-1$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Համակցեք 3x և -2x և ստացեք x:

$$x-3y-3=-1$$

Հավելել 3-ը երկու կողմերում:

$$x-3y=-1+3$$

Գումարեք -1 և 3 և ստացեք 2:

$$x-3y=2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-2\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-4,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+6=3y+3+1$$

Գումարեք 3 և 1 և ստացեք 4:

$$2x+6=3y+4$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$2x+6-3y=4$$

Հանեք 6 երկու կողմերից:

$$2x-3y=4-6$$

Հանեք 6 4-ից և ստացեք -2:

$$2x-3y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Գումարեք -4 և 3 և ստացեք -1:

$$3x-3y-3=2x-1$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Համակցեք 3x և -2x և ստացեք x:

$$x-3y-3=-1$$

Հավելել 3-ը երկու կողմերում:

$$x-3y=-1+3$$

Գումարեք -1 և 3 և ստացեք 2:

$$x-3y=2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Հանեք x-3y=2 2x-3y=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-x-3y+3y=-2-2$$

Գումարեք -3y 3y-ին: -3y-ը և 3y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2x-x=-2-2$$

Գումարեք 2x -x-ին:

$$x=-2-2$$

Գումարեք -2 -2-ին:

$$x=-4$$

Փոխարինեք -4-ը x-ով x-3y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-4-3y=2$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$-3y=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-4,y=-2$$