Լուծեք {l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

Բազմապատկեք 2 անգամ x+2:

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

Բազմապատկեք -3 անգամ y-1:

$$2x+4-3y+3=13$$

Գումարեք 4 3-ին:

$$2x-3y+7=13$$

Հանեք 7 հավասարման երկու կողմից:

$$2x-3y=6$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 6+3y:

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

Փոխարինեք \frac{3y}{2}+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9:

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Գումարեք 3 2-ին:

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{3y}{2}+5:

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

Բազմապատկեք 5 անգամ y-1:

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

Գումարեք \frac{9y}{2} 5y-ին:

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

Գումարեք 15 -5-ին:

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{19}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{11}{5}$$

Փոխարինեք \frac{11}{5}-ը y-ով x=\frac{3}{2}y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ \frac{11}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{33}{10}+3$$

Գումարեք 3 \frac{33}{10}-ին:

$$x=\frac{63}{10}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Պարզեցրեք առաջին հավասարումը՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար:

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

Բազմապատկեք 2 անգամ x+2:

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

Բազմապատկեք -3 անգամ y-1:

$$2x+4-3y+3=13$$

Գումարեք 4 3-ին:

$$2x-3y+7=13$$

Հանեք 7 հավասարման երկու կողմից:

$$2x-3y=6$$

Պարզեցրեք երկրորդ հավասարումը՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար:

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ x+2:

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

Բազմապատկեք 5 անգամ y-1:

$$3x+6+5y-5=30.9$$

Գումարեք 6 -5-ին:

$$3x+5y+1=30.9$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$3x+5y=29.9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$