Լուծեք {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 3x-4-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-8+3y=31$$

Հավելել 8-ը երկու կողմերում:

$$6x+3y=31+8$$

Գումարեք 31 և 8 և ստացեք 39:

$$6x+3y=39$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 2,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x-2y=50$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x+3y=39$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-3y+39$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ -3y+39:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y+13}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-2y=50:

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-y+13}{2}:

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

Գումարեք -\frac{5y}{2} -2y-ին:

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

Հանեք \frac{65}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{9}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{35}{9}$$

Փոխարինեք -\frac{35}{9}-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -\frac{35}{9}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

Գումարեք \frac{13}{2} \frac{35}{18}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{76}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 3x-4-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-8+3y=31$$

Հավելել 8-ը երկու կողմերում:

$$6x+3y=31+8$$

Գումարեք 31 և 8 և ստացեք 39:

$$6x+3y=39$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 2,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x-2y=50$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 3x-4-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-8+3y=31$$

Հավելել 8-ը երկու կողմերում:

$$6x+3y=31+8$$

Գումարեք 31 և 8 և ստացեք 39:

$$6x+3y=39$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 2,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x-2y=50$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

6x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

Պարզեցնել:

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

Հանեք 30x-12y=300 30x+15y=195-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

Գումարեք 30x -30x-ին: 30x-ը և -30x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y+12y=195-300$$

Գումարեք 15y 12y-ին:

$$27y=195-300$$

Գումարեք 195 -300-ին:

$$27y=-105$$

Բաժանեք երկու կողմերը 27-ի:

$$y=-\frac{35}{9}$$

Փոխարինեք -\frac{35}{9}-ը y-ով 5x-2y=50-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{35}{9}:

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

Հանեք \frac{70}{9} հավասարման երկու կողմից:

$$5x=\frac{380}{9}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{76}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$