Լուծեք {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2x-3:

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Բազմապատկեք 3 անգամ y+4:

$$4x-6+3y+12=7$$

Գումարեք -6 12-ին:

$$4x+3y+6=7$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$4x+3y=1$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-3y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -3y+1:

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+1}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3:

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Գումարեք \frac{1}{4} 2-ին:

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-3y+9}{4}:

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -y+2:

$$-3y+9+5y-10=-3$$

Գումարեք -3y 5y-ին:

$$2y+9-10=-3$$

Գումարեք 9 -10-ին:

$$2y-1=-3$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$2y=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ -1:

$$x=\frac{3+1}{4}$$

Գումարեք \frac{1}{4} \frac{3}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Պարզեցրեք առաջին հավասարումը՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար:

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2x-3:

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Բազմապատկեք 3 անգամ y+4:

$$4x-6+3y+12=7$$

Գումարեք -6 12-ին:

$$4x+3y+6=7$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$4x+3y=1$$

Պարզեցրեք երկրորդ հավասարումը՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար:

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Բազմապատկեք 4 անգամ x+2:

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -y+2:

$$4x+8+5y-10=-3$$

Գումարեք 8 -10-ին:

$$4x+5y-2=-3$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$4x+5y=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=-1$$