Լուծեք {l}{2(2x+5y)=3,6}{5(3x+2y)=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x + 5 y ) = 3,6 } \\ { 5 ( 3 x + 2 y ) = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0,4$$

$$y=0,2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$2x+5y=\frac{3,6}{2}$$

Ընդարձակեք \frac{3,6}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչն ու հայտարարը 10-ով:

$$2x+5y=\frac{36}{20}$$

Նվազեցնել \frac{36}{20} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$3x+2y=\frac{8}{5}$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+5y=\frac{9}{5};3x+2y=\frac{8}{5}$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-5y+\frac{9}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+\frac{9}{5}\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -5y+\frac{9}{5}:

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{10}$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{2}+\frac{9}{10}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=\frac{8}{5}:

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{9}{10}\right)+2y=\frac{8}{5}$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{5y}{2}+\frac{9}{10}:

$$-\frac{15}{2}y+\frac{27}{10}+2y=\frac{8}{5}$$

Գումարեք -\frac{15y}{2} 2y-ին:

$$-\frac{11}{2}y+\frac{27}{10}=\frac{8}{5}$$

Հանեք \frac{27}{10} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{11}{10}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{11}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{1}{5}$$

Փոխարինեք \frac{1}{5}-ը y-ով x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{10}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{1}{5}+\frac{9}{10}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{2} անգամ \frac{1}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

Գումարեք \frac{9}{10} -\frac{1}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{2}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2}{5};y=\frac{1}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$2x+5y=\frac{3,6}{2}$$

Ընդարձակեք \frac{3,6}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչն ու հայտարարը 10-ով:

$$2x+5y=\frac{36}{20}$$

Նվազեցնել \frac{36}{20} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$3x+2y=\frac{8}{5}$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+5y=\frac{9}{5};3x+2y=\frac{8}{5}$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5\times 3}&-\frac{5}{2\times 2-5\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-5\times 3}&\frac{2}{2\times 2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times \frac{9}{5}+\frac{5}{11}\times \frac{8}{5}\\\frac{3}{11}\times \frac{9}{5}-\frac{2}{11}\times \frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{2}{5};y=\frac{1}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$2x+5y=\frac{3,6}{2}$$

Ընդարձակեք \frac{3,6}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչն ու հայտարարը 10-ով:

$$2x+5y=\frac{36}{20}$$

Նվազեցնել \frac{36}{20} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$3x+2y=\frac{8}{5}$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+5y=\frac{9}{5};3x+2y=\frac{8}{5}$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times \frac{9}{5};2\times 3x+2\times 2y=2\times \frac{8}{5}$$

Պարզեցնել:

$$6x+15y=\frac{27}{5};6x+4y=\frac{16}{5}$$

Հանեք 6x+4y=\frac{16}{5} 6x+15y=\frac{27}{5}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+15y-4y=\frac{27-16}{5}$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y-4y=\frac{27-16}{5}$$

Գումարեք 15y -4y-ին:

$$11y=\frac{27-16}{5}$$

Գումարեք \frac{27}{5} -\frac{16}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$11y=\frac{11}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$y=\frac{1}{5}$$

Փոխարինեք \frac{1}{5}-ը y-ով 3x+2y=\frac{8}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\times \frac{1}{5}=\frac{8}{5}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{1}{5}:

$$3x+\frac{2}{5}=\frac{8}{5}$$

Հանեք \frac{2}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=\frac{6}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{2}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2}{5};y=\frac{1}{5}$$