Լուծեք {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել m, n-ի համար

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն m-ի համար՝ առանձնացնելով m-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$16m+50n=55$$

Հանեք 50n հավասարման երկու կողմից:

$$16m=-50n+55$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{16} անգամ -50n+55:

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

Փոխարինեք -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}-ը m-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2m+4n=5:

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}:

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

Գումարեք -\frac{25n}{4} 4n-ին:

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

Հանեք \frac{55}{8} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{9}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$n=\frac{5}{6}$$

Փոխարինեք \frac{5}{6}-ը n-ով m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

Բազմապատկեք -\frac{25}{8} անգամ \frac{5}{6}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

Գումարեք \frac{55}{16} -\frac{125}{48}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$m=\frac{5}{6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի m և n տարրերը:

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

16m-ը և 2m-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 16-ով:

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

Պարզեցնել:

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

Հանեք 32m+64n=80 32m+100n=110-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

Գումարեք 32m -32m-ին: 32m-ը և -32m-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$100n-64n=110-80$$

Գումարեք 100n -64n-ին:

$$36n=110-80$$

Գումարեք 110 -80-ին:

$$36n=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 36-ի:

$$n=\frac{5}{6}$$

Փոխարինեք \frac{5}{6}-ը n-ով 2m+4n=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{5}{6}:

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

Հանեք \frac{10}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$2m=\frac{5}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$m=\frac{5}{6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$