Լուծեք {l}{1530=16x+2y}{817x+110y=77715}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1530 = 16 x + 2 y } \\ { 817 x + 110 y = 77715 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{715}{7} = 102\frac{1}{7} \approx 102.142857143$$

$$y = -\frac{365}{7} = -52\frac{1}{7} \approx -52.142857143$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$16x+2y=1530$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$16x+2y=1530$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$16x=-2y+1530$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$x=\frac{1}{16}\left(-2y+1530\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{16} անգամ -2y+1530:

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}$$

Փոխարինեք \frac{-y+765}{8}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 817x+110y=77715:

$$817\left(-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}\right)+110y=77715$$

Բազմապատկեք 817 անգամ \frac{-y+765}{8}:

$$-\frac{817}{8}y+\frac{625005}{8}+110y=77715$$

Գումարեք -\frac{817y}{8} 110y-ին:

$$\frac{63}{8}y+\frac{625005}{8}=77715$$

Հանեք \frac{625005}{8} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{63}{8}y=-\frac{3285}{8}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{63}{8}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{365}{7}$$

Փոխարինեք -\frac{365}{7}-ը y-ով x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{8}\left(-\frac{365}{7}\right)+\frac{765}{8}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{8} անգամ -\frac{365}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{365}{56}+\frac{765}{8}$$

Գումարեք \frac{765}{8} \frac{365}{56}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{715}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$16x+2y=1530$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{16\times 110-2\times 817}&-\frac{2}{16\times 110-2\times 817}\\-\frac{817}{16\times 110-2\times 817}&\frac{16}{16\times 110-2\times 817}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}&-\frac{1}{63}\\-\frac{817}{126}&\frac{8}{63}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}\times 1530-\frac{1}{63}\times 77715\\-\frac{817}{126}\times 1530+\frac{8}{63}\times 77715\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{715}{7}\\-\frac{365}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$16x+2y=1530$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

16x-ը և 817x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 817-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 16-ով:

$$817\times 16x+817\times 2y=817\times 1530,16\times 817x+16\times 110y=16\times 77715$$

Պարզեցնել:

$$13072x+1634y=1250010,13072x+1760y=1243440$$

Հանեք 13072x+1760y=1243440 13072x+1634y=1250010-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$13072x-13072x+1634y-1760y=1250010-1243440$$

Գումարեք 13072x -13072x-ին: 13072x-ը և -13072x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$1634y-1760y=1250010-1243440$$

Գումարեք 1634y -1760y-ին:

$$-126y=1250010-1243440$$

Գումարեք 1250010 -1243440-ին:

$$-126y=6570$$

Բաժանեք երկու կողմերը -126-ի:

$$y=-\frac{365}{7}$$

Փոխարինեք -\frac{365}{7}-ը y-ով 817x+110y=77715-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$817x+110\left(-\frac{365}{7}\right)=77715$$

Բազմապատկեք 110 անգամ -\frac{365}{7}:

$$817x-\frac{40150}{7}=77715$$

Գումարեք \frac{40150}{7} հավասարման երկու կողմին:

$$817x=\frac{584155}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 817-ի:

$$x=\frac{715}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$