Լուծեք {l}{14p+20q=13}{15p-25q=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 14 p + 20 q = 13 } \\ { 15 p - 25 q = 13 } \end{array} \right.$$

Լուծել p, q-ի համար

$$p=\frac{9}{10}=0.9$$

$$q=\frac{1}{50}=0.02$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$14p+20q=13,15p-25q=13$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն p-ի համար՝ առանձնացնելով p-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$14p+20q=13$$

Հանեք 20q հավասարման երկու կողմից:

$$14p=-20q+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 14-ի:

$$p=\frac{1}{14}\left(-20q+13\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{14} անգամ -20q+13:

$$p=-\frac{10}{7}q+\frac{13}{14}$$

Փոխարինեք -\frac{10q}{7}+\frac{13}{14}-ը p-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 15p-25q=13:

$$15\left(-\frac{10}{7}q+\frac{13}{14}\right)-25q=13$$

Բազմապատկեք 15 անգամ -\frac{10q}{7}+\frac{13}{14}:

$$-\frac{150}{7}q+\frac{195}{14}-25q=13$$

Գումարեք -\frac{150q}{7} -25q-ին:

$$-\frac{325}{7}q+\frac{195}{14}=13$$

Հանեք \frac{195}{14} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{325}{7}q=-\frac{13}{14}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{325}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$q=\frac{1}{50}$$

Փոխարինեք \frac{1}{50}-ը q-ով p=-\frac{10}{7}q+\frac{13}{14}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես p-ի համար:

$$p=-\frac{10}{7}\times \frac{1}{50}+\frac{13}{14}$$

Բազմապատկեք -\frac{10}{7} անգամ \frac{1}{50}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$p=-\frac{1}{35}+\frac{13}{14}$$

Գումարեք \frac{13}{14} -\frac{1}{35}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$p=\frac{9}{10}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=\frac{9}{10},q=\frac{1}{50}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$14p+20q=13,15p-25q=13$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{14\left(-25\right)-20\times 15}&-\frac{20}{14\left(-25\right)-20\times 15}\\-\frac{15}{14\left(-25\right)-20\times 15}&\frac{14}{14\left(-25\right)-20\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{26}&\frac{2}{65}\\\frac{3}{130}&-\frac{7}{325}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{26}\times 13+\frac{2}{65}\times 13\\\frac{3}{130}\times 13-\frac{7}{325}\times 13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{50}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի p և q տարրերը:

$$p=\frac{9}{10},q=\frac{1}{50}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$14p+20q=13,15p-25q=13$$

14p-ը և 15p-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 15-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 14-ով:

$$15\times 14p+15\times 20q=15\times 13,14\times 15p+14\left(-25\right)q=14\times 13$$

Պարզեցնել:

$$210p+300q=195,210p-350q=182$$

Հանեք 210p-350q=182 210p+300q=195-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$210p-210p+300q+350q=195-182$$

Գումարեք 210p -210p-ին: 210p-ը և -210p-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$300q+350q=195-182$$

Գումարեք 300q 350q-ին:

$$650q=195-182$$

Գումարեք 195 -182-ին:

$$650q=13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 650-ի:

$$q=\frac{1}{50}$$

Փոխարինեք \frac{1}{50}-ը q-ով 15p-25q=13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես p-ի համար:

$$15p-25\times \frac{1}{50}=13$$

Բազմապատկեք -25 անգամ \frac{1}{50}:

$$15p-\frac{1}{2}=13$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$15p=\frac{27}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$p=\frac{9}{10}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=\frac{9}{10},q=\frac{1}{50}$$