Լուծեք {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=4$$

$$y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 6y երկու կողմերից:

$$10x+y-6y=5$$

Համակցեք y և -6y և ստացեք -5y:

$$10x-5y=5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 10x երկու կողմերից:

$$10y+x-10x=y+27$$

Համակցեք x և -10x և ստացեք -9x:

$$10y-9x=y+27$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$10y-9x-y=27$$

Համակցեք 10y և -y և ստացեք 9y:

$$9y-9x=27$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$10x-5y=5$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$10x=5y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{10} անգամ 5+5y:

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք \frac{1+y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -9x+9y=27:

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

Բազմապատկեք -9 անգամ \frac{1+y}{2}:

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

Գումարեք -\frac{9y}{2} 9y-ին:

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Գումարեք \frac{9}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{9}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 7:

$$x=\frac{7+1}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} \frac{7}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 6y երկու կողմերից:

$$10x+y-6y=5$$

Համակցեք y և -6y և ստացեք -5y:

$$10x-5y=5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 10x երկու կողմերից:

$$10y+x-10x=y+27$$

Համակցեք x և -10x և ստացեք -9x:

$$10y-9x=y+27$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$10y-9x-y=27$$

Համակցեք 10y և -y և ստացեք 9y:

$$9y-9x=27$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=4,y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 6y երկու կողմերից:

$$10x+y-6y=5$$

Համակցեք y և -6y և ստացեք -5y:

$$10x-5y=5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 10x երկու կողմերից:

$$10y+x-10x=y+27$$

Համակցեք x և -10x և ստացեք -9x:

$$10y-9x=y+27$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$10y-9x-y=27$$

Համակցեք 10y և -y և ստացեք 9y:

$$9y-9x=27$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

10x-ը և -9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 10-ով:

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

Պարզեցնել:

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

Հանեք -90x+90y=270 -90x+45y=-45-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

Գումարեք -90x 90x-ին: -90x-ը և 90x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$45y-90y=-45-270$$

Գումարեք 45y -90y-ին:

$$-45y=-45-270$$

Գումարեք -45 -270-ին:

$$-45y=-315$$

Բաժանեք երկու կողմերը -45-ի:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով -9x+9y=27-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-9x+9\times 7=27$$

Բազմապատկեք 9 անգամ 7:

$$-9x+63=27$$

Հանեք 63 հավասարման երկու կողմից:

$$-9x=-36$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=7$$