Լուծեք {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=10$$

$$y=14$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$10x+5y=170$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$10x=-5y+170$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{10} անգամ -5y+170:

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

Փոխարինեք -\frac{y}{2}+17-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x+10y=200:

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

Բազմապատկեք 6 անգամ -\frac{y}{2}+17:

$$-3y+102+10y=200$$

Գումարեք -3y 10y-ին:

$$7y+102=200$$

Հանեք 102 հավասարման երկու կողմից:

$$7y=98$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=14$$

Փոխարինեք 14-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+17-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 14:

$$x=-7+17$$

Գումարեք 17 -7-ին:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=14$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=10,y=14$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

10x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 10-ով:

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

Պարզեցնել:

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

Հանեք 60x+100y=2000 60x+30y=1020-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

Գումարեք 60x -60x-ին: 60x-ը և -60x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$30y-100y=1020-2000$$

Գումարեք 30y -100y-ին:

$$-70y=1020-2000$$

Գումարեք 1020 -2000-ին:

$$-70y=-980$$

Բաժանեք երկու կողմերը -70-ի:

$$y=14$$

Փոխարինեք 14-ը y-ով 6x+10y=200-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x+10\times 14=200$$

Բազմապատկեք 10 անգամ 14:

$$6x+140=200$$

Հանեք 140 հավասարման երկու կողմից:

$$6x=60$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=14$$