Լուծեք {l}{10x+25y=600}{15x+30y=750}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 25 y = 600 } \\ { 15 x + 30 y = 750 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=10$$

$$y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$10x+25y=600$$

Հանեք 25y հավասարման երկու կողմից:

$$10x=-25y+600$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x=\frac{1}{10}\left(-25y+600\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{10} անգամ -25y+600:

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{2}+60-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 15x+30y=750:

$$15\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+30y=750$$

Բազմապատկեք 15 անգամ -\frac{5y}{2}+60:

$$-\frac{75}{2}y+900+30y=750$$

Գումարեք -\frac{75y}{2} 30y-ին:

$$-\frac{15}{2}y+900=750$$

Հանեք 900 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{15}{2}y=-150$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{15}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=20$$

Փոխարինեք 20-ը y-ով x=-\frac{5}{2}y+60-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{2}\times 20+60$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{2} անգամ 20:

$$x=-50+60$$

Գումարեք 60 -50-ին:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{10\times 30-25\times 15}&-\frac{25}{10\times 30-25\times 15}\\-\frac{15}{10\times 30-25\times 15}&\frac{10}{10\times 30-25\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 600+\frac{1}{3}\times 750\\\frac{1}{5}\times 600-\frac{2}{15}\times 750\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=10,y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

10x-ը և 15x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 15-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 10-ով:

$$15\times 10x+15\times 25y=15\times 600,10\times 15x+10\times 30y=10\times 750$$

Պարզեցնել:

$$150x+375y=9000,150x+300y=7500$$

Հանեք 150x+300y=7500 150x+375y=9000-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$150x-150x+375y-300y=9000-7500$$

Գումարեք 150x -150x-ին: 150x-ը և -150x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$375y-300y=9000-7500$$

Գումարեք 375y -300y-ին:

$$75y=9000-7500$$

Գումարեք 9000 -7500-ին:

$$75y=1500$$

Բաժանեք երկու կողմերը 75-ի:

$$y=20$$

Փոխարինեք 20-ը y-ով 15x+30y=750-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$15x+30\times 20=750$$

Բազմապատկեք 30 անգամ 20:

$$15x+600=750$$

Հանեք 600 հավասարման երկու կողմից:

$$15x=150$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=20$$