Լուծեք {l}{10x+18y=-1}{16x-9y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 18 y = - 1 } \\ { 16 x - 9 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{11}{42}\approx -0.261904762$$

$$y=\frac{17}{189}\approx 0.08994709$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$10x+18y=-1$$

Հանեք 18y հավասարման երկու կողմից:

$$10x=-18y-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x=\frac{1}{10}\left(-18y-1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{10} անգամ -18y-1:

$$x=-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}$$

Փոխարինեք -\frac{9y}{5}-\frac{1}{10}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 16x-9y=-5:

$$16\left(-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}\right)-9y=-5$$

Բազմապատկեք 16 անգամ -\frac{9y}{5}-\frac{1}{10}:

$$-\frac{144}{5}y-\frac{8}{5}-9y=-5$$

Գումարեք -\frac{144y}{5} -9y-ին:

$$-\frac{189}{5}y-\frac{8}{5}=-5$$

Գումարեք \frac{8}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{189}{5}y=-\frac{17}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{189}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{17}{189}$$

Փոխարինեք \frac{17}{189}-ը y-ով x=-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{9}{5}\times \frac{17}{189}-\frac{1}{10}$$

Բազմապատկեք -\frac{9}{5} անգամ \frac{17}{189}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{17}{105}-\frac{1}{10}$$

Գումարեք -\frac{1}{10} -\frac{17}{105}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{11}{42}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{10\left(-9\right)-18\times 16}&-\frac{18}{10\left(-9\right)-18\times 16}\\-\frac{16}{10\left(-9\right)-18\times 16}&\frac{10}{10\left(-9\right)-18\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}&\frac{1}{21}\\\frac{8}{189}&-\frac{5}{189}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}\left(-1\right)+\frac{1}{21}\left(-5\right)\\\frac{8}{189}\left(-1\right)-\frac{5}{189}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{42}\\\frac{17}{189}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

10x-ը և 16x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 16-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 10-ով:

$$16\times 10x+16\times 18y=16\left(-1\right),10\times 16x+10\left(-9\right)y=10\left(-5\right)$$

Պարզեցնել:

$$160x+288y=-16,160x-90y=-50$$

Հանեք 160x-90y=-50 160x+288y=-16-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$160x-160x+288y+90y=-16+50$$

Գումարեք 160x -160x-ին: 160x-ը և -160x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$288y+90y=-16+50$$

Գումարեք 288y 90y-ին:

$$378y=-16+50$$

Գումարեք -16 50-ին:

$$378y=34$$

Բաժանեք երկու կողմերը 378-ի:

$$y=\frac{17}{189}$$

Փոխարինեք \frac{17}{189}-ը y-ով 16x-9y=-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$16x-9\times \frac{17}{189}=-5$$

Բազմապատկեք -9 անգամ \frac{17}{189}:

$$16x-\frac{17}{21}=-5$$

Գումարեք \frac{17}{21} հավասարման երկու կողմին:

$$16x=-\frac{88}{21}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$x=-\frac{11}{42}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$