Լուծեք {l}{10-3(x+4y)=4(x+5y)}{3(x+y)=10+x+y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 - 3 ( x + 4 y ) = 4 ( x + 5 y ) } \\ { 3 ( x + y ) = 10 + x + y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=6$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x+4y-ով բազմապատկելու համար:

$$10-3x-12y=4\left(x+5y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+5y-ով բազմապատկելու համար:

$$10-3x-12y=4x+20y$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$10-3x-12y-4x=20y$$

Համակցեք -3x և -4x և ստացեք -7x:

$$10-7x-12y=20y$$

Հանեք 20y երկու կողմերից:

$$10-7x-12y-20y=0$$

Համակցեք -12y և -20y և ստացեք -32y:

$$10-7x-32y=0$$

Հանեք 10 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-7x-32y=-10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y=10+x+y$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$3x+3y-x=10+y$$

Համակցեք 3x և -x և ստացեք 2x:

$$2x+3y=10+y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x+3y-y=10$$

Համակցեք 3y և -y և ստացեք 2y:

$$2x+2y=10$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-7x-32y=-10,2x+2y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-7x-32y=-10$$

Գումարեք 32y հավասարման երկու կողմին:

$$-7x=32y-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=-\frac{1}{7}\left(32y-10\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{7} անգամ 32y-10:

$$x=-\frac{32}{7}y+\frac{10}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-32y+10}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+2y=10:

$$2\left(-\frac{32}{7}y+\frac{10}{7}\right)+2y=10$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-32y+10}{7}:

$$-\frac{64}{7}y+\frac{20}{7}+2y=10$$

Գումարեք -\frac{64y}{7} 2y-ին:

$$-\frac{50}{7}y+\frac{20}{7}=10$$

Հանեք \frac{20}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{50}{7}y=\frac{50}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{50}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=-\frac{32}{7}y+\frac{10}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{32}{7}\left(-1\right)+\frac{10}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{32}{7} անգամ -1:

$$x=\frac{32+10}{7}$$

Գումարեք \frac{10}{7} \frac{32}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x+4y-ով բազմապատկելու համար:

$$10-3x-12y=4\left(x+5y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+5y-ով բազմապատկելու համար:

$$10-3x-12y=4x+20y$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$10-3x-12y-4x=20y$$

Համակցեք -3x և -4x և ստացեք -7x:

$$10-7x-12y=20y$$

Հանեք 20y երկու կողմերից:

$$10-7x-12y-20y=0$$

Համակցեք -12y և -20y և ստացեք -32y:

$$10-7x-32y=0$$

Հանեք 10 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-7x-32y=-10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y=10+x+y$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$3x+3y-x=10+y$$

Համակցեք 3x և -x և ստացեք 2x:

$$2x+3y=10+y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x+3y-y=10$$

Համակցեք 3y և -y և ստացեք 2y:

$$2x+2y=10$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-7x-32y=-10,2x+2y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-\left(-32\times 2\right)}&-\frac{-32}{-7\times 2-\left(-32\times 2\right)}\\-\frac{2}{-7\times 2-\left(-32\times 2\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-\left(-32\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{16}{25}\\-\frac{1}{25}&-\frac{7}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\left(-10\right)+\frac{16}{25}\times 10\\-\frac{1}{25}\left(-10\right)-\frac{7}{50}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=6,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x+4y-ով բազմապատկելու համար:

$$10-3x-12y=4\left(x+5y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+5y-ով բազմապատկելու համար:

$$10-3x-12y=4x+20y$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$10-3x-12y-4x=20y$$

Համակցեք -3x և -4x և ստացեք -7x:

$$10-7x-12y=20y$$

Հանեք 20y երկու կողմերից:

$$10-7x-12y-20y=0$$

Համակցեք -12y և -20y և ստացեք -32y:

$$10-7x-32y=0$$

Հանեք 10 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-7x-32y=-10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y=10+x+y$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$3x+3y-x=10+y$$

Համակցեք 3x և -x և ստացեք 2x:

$$2x+3y=10+y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x+3y-y=10$$

Համակցեք 3y և -y և ստացեք 2y:

$$2x+2y=10$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-7x-32y=-10,2x+2y=10$$

-7x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -7-ով:

$$2\left(-7\right)x+2\left(-32\right)y=2\left(-10\right),-7\times 2x-7\times 2y=-7\times 10$$

Պարզեցնել:

$$-14x-64y=-20,-14x-14y=-70$$

Հանեք -14x-14y=-70 -14x-64y=-20-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-14x+14x-64y+14y=-20+70$$

Գումարեք -14x 14x-ին: -14x-ը և 14x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-64y+14y=-20+70$$

Գումարեք -64y 14y-ին:

$$-50y=-20+70$$

Գումարեք -20 70-ին:

$$-50y=50$$

Բաժանեք երկու կողմերը -50-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով 2x+2y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+2\left(-1\right)=10$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1:

$$2x-2=10$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-1$$