Լուծեք {l}{0.6x+0.5y=9400}{0.4x-0.5y=1600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.6 x + 0.5 y = 9400 } \\ { 0.4 x - 0.5 y = 1600 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=11000$$

$$y=5600$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$0.6x+0.5y=9400,0.4x-0.5y=1600$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$0.6x+0.5y=9400$$

Հանեք \frac{y}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$0.6x=-0.5y+9400$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.6-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{5}{3}\left(-0.5y+9400\right)$$

Բազմապատկեք \frac{5}{3} անգամ -\frac{y}{2}+9400:

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{47000}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{6}+\frac{47000}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 0.4x-0.5y=1600:

$$0.4\left(-\frac{5}{6}y+\frac{47000}{3}\right)-0.5y=1600$$

Բազմապատկեք 0.4 անգամ -\frac{5y}{6}+\frac{47000}{3}:

$$-\frac{1}{3}y+\frac{18800}{3}-0.5y=1600$$

Գումարեք -\frac{y}{3} -\frac{y}{2}-ին:

$$-\frac{5}{6}y+\frac{18800}{3}=1600$$

Հանեք \frac{18800}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{6}y=-\frac{14000}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{6}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=5600$$

Փոխարինեք 5600-ը y-ով x=-\frac{5}{6}y+\frac{47000}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{6}\times 5600+\frac{47000}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{6} անգամ 5600:

$$x=\frac{-14000+47000}{3}$$

Գումարեք \frac{47000}{3} -\frac{14000}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=11000$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=11000,y=5600$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$0.6x+0.5y=9400,0.4x-0.5y=1600$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.5}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}&-\frac{0.5}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}\\-\frac{0.4}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}&\frac{0.6}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9400+1600\\0.8\times 9400-1.2\times 1600\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11000\\5600\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=11000,y=5600$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$0.6x+0.5y=9400,0.4x-0.5y=1600$$

\frac{3x}{5}-ը և \frac{2x}{5}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 0.4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 0.6-ով:

$$0.4\times 0.6x+0.4\times 0.5y=0.4\times 9400,0.6\times 0.4x+0.6\left(-0.5\right)y=0.6\times 1600$$

Պարզեցնել:

$$0.24x+0.2y=3760,0.24x-0.3y=960$$

Հանեք 0.24x-0.3y=960 0.24x+0.2y=3760-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$0.24x-0.24x+0.2y+0.3y=3760-960$$

Գումարեք \frac{6x}{25} -\frac{6x}{25}-ին: \frac{6x}{25}-ը և -\frac{6x}{25}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$0.2y+0.3y=3760-960$$

Գումարեք \frac{y}{5} \frac{3y}{10}-ին:

$$0.5y=3760-960$$

Գումարեք 3760 -960-ին:

$$0.5y=2800$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$y=5600$$

Փոխարինեք 5600-ը y-ով 0.4x-0.5y=1600-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$0.4x-0.5\times 5600=1600$$

Բազմապատկեք -0.5 անգամ 5600:

$$0.4x-2800=1600$$

Գումարեք 2800 հավասարման երկու կողմին:

$$0.4x=4400$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.4-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=11000$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=11000,y=5600$$