Լուծեք {l}{0.5x-0.8y+9=4}{x/3+y/5=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=6$$

$$y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$0.5x-0.8y+9=4$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$0.5x-0.8y=-5$$

Գումարեք \frac{4y}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$0.5x=0.8y-5$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$x=2\left(0.8y-5\right)$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{4y}{5}-5:

$$x=1.6y-10$$

Փոխարինեք \frac{8y}{5}-10-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4:

$$\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ \frac{8y}{5}-10:

$$\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4$$

Գումարեք \frac{8y}{15} \frac{y}{5}-ին:

$$\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4$$

Գումարեք \frac{10}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{15}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=10$$

Փոխարինեք 10-ը y-ով x=1.6y-10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=1.6\times 10-10$$

Բազմապատկեք 1.6 անգամ 10:

$$x=16-10$$

Գումարեք -10 16-ին:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=6,y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

\frac{x}{2}-ը և \frac{x}{3}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները \frac{1}{3}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 0.5-ով:

$$\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4$$

Պարզեցնել:

$$\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2$$

Հանեք \frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2 \frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Գումարեք \frac{x}{6} -\frac{x}{6}-ին: \frac{x}{6}-ը և -\frac{x}{6}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Գումարեք -\frac{4y}{15} -\frac{y}{10}-ին:

$$-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Գումարեք \frac{4}{3} -2-ին:

$$-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{11}{30}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=10$$

Փոխարինեք 10-ը y-ով \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 10:

$$\frac{1}{3}x+2=4$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{3}x=2$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 3-ով:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=10$$