Լուծեք {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=28$$

$$y=30$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$0.5x+0.7y=35$$

Հանեք \frac{7y}{10} հավասարման երկու կողմից:

$$0.5x=-0.7y+35$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{7y}{10}+35:

$$x=-1.4y+70$$

Փոխարինեք -\frac{7y}{5}+70-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+0.4y=40:

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

Գումարեք -\frac{7y}{5} \frac{2y}{5}-ին:

$$-y+70=40$$

Հանեք 70 հավասարման երկու կողմից:

$$-y=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=30$$

Փոխարինեք 30-ը y-ով x=-1.4y+70-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-1.4\times 30+70$$

Բազմապատկեք -1.4 անգամ 30:

$$x=-42+70$$

Գումարեք 70 -42-ին:

$$x=28$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=28,y=30$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=28,y=30$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

\frac{x}{2}-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 0.5-ով:

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

Պարզեցնել:

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

Հանեք 0.5x+0.2y=20 0.5x+0.7y=35-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

Գումարեք \frac{x}{2} -\frac{x}{2}-ին: \frac{x}{2}-ը և -\frac{x}{2}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$0.7y-0.2y=35-20$$

Գումարեք \frac{7y}{10} -\frac{y}{5}-ին:

$$0.5y=35-20$$

Գումարեք 35 -20-ին:

$$0.5y=15$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$y=30$$

Փոխարինեք 30-ը y-ով x+0.4y=40-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+0.4\times 30=40$$

Բազմապատկեք 0.4 անգամ 30:

$$x+12=40$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$x=28$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=28,y=30$$