Լուծեք {l}{0.2x+0.3y=0.2}{0.4x+0.1y=0.4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.3 y = 0.2 } \\ { 0.4 x + 0.1 y = 0.4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$0.2x+0.3y=0.2,0.4x+0.1y=0.4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$0.2x+0.3y=0.2$$

Հանեք \frac{3y}{10} հավասարման երկու կողմից:

$$0.2x=-0.3y+0.2$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 5-ով:

$$x=5\left(-0.3y+0.2\right)$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{3y}{10}+0.2:

$$x=-1.5y+1$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 0.4x+0.1y=0.4:

$$0.4\left(-1.5y+1\right)+0.1y=0.4$$

Բազմապատկեք 0.4 անգամ -\frac{3y}{2}+1:

$$-0.6y+0.4+0.1y=0.4$$

Գումարեք -\frac{3y}{5} \frac{y}{10}-ին:

$$-0.5y+0.4=0.4$$

Հանեք 0.4 հավասարման երկու կողմից:

$$-0.5y=0$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -2-ով:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով x=-1.5y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$0.2x+0.3y=0.2,0.4x+0.1y=0.4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.1}{0.2\times 0.1-0.3\times 0.4}&-\frac{0.3}{0.2\times 0.1-0.3\times 0.4}\\-\frac{0.4}{0.2\times 0.1-0.3\times 0.4}&\frac{0.2}{0.2\times 0.1-0.3\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.2+3\times 0.4\\4\times 0.2-2\times 0.4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$0.2x+0.3y=0.2,0.4x+0.1y=0.4$$

\frac{x}{5}-ը և \frac{2x}{5}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 0.4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 0.2-ով:

$$0.4\times 0.2x+0.4\times 0.3y=0.4\times 0.2,0.2\times 0.4x+0.2\times 0.1y=0.2\times 0.4$$

Պարզեցնել:

$$0.08x+0.12y=0.08,0.08x+0.02y=0.08$$

Հանեք 0.08x+0.02y=0.08 0.08x+0.12y=0.08-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$0.08x-0.08x+0.12y-0.02y=\frac{2-2}{25}$$

Գումարեք \frac{2x}{25} -\frac{2x}{25}-ին: \frac{2x}{25}-ը և -\frac{2x}{25}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$0.12y-0.02y=\frac{2-2}{25}$$

Գումարեք \frac{3y}{25} -\frac{y}{50}-ին:

$$0.1y=\frac{2-2}{25}$$

Գումարեք 0.08 -0.08-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$0.1y=0$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 10-ով:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով 0.4x+0.1y=0.4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$0.4x=0.4$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.4-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=0$$