Լուծեք {l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

Լուծել r, t-ի համար

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն r-ի համար՝ առանձնացնելով r-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$0.07r+0.02t=0.16$$

Հանեք \frac{t}{50} հավասարման երկու կողմից:

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.07-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

Բազմապատկեք \frac{100}{7} անգամ -\frac{t}{50}+0.16:

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-2t+16}{7}-ը r-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 0.05r-0.03t=0.21:

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

Բազմապատկեք 0.05 անգամ \frac{-2t+16}{7}:

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

Գումարեք -\frac{t}{70} -\frac{3t}{100}-ին:

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

Հանեք \frac{4}{35} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{31}{700}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$t=-\frac{67}{31}$$

Փոխարինեք -\frac{67}{31}-ը t-ով r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես r-ի համար:

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{7} անգամ -\frac{67}{31}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

Գումարեք \frac{16}{7} \frac{134}{217}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$r=\frac{90}{31}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի r և t տարրերը:

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

\frac{7r}{100}-ը և \frac{r}{20}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 0.05-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 0.07-ով:

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

Պարզեցնել:

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

Հանեք 0.0035r-0.0021t=0.0147 0.0035r+0.001t=0.008-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

Գումարեք \frac{7r}{2000} -\frac{7r}{2000}-ին: \frac{7r}{2000}-ը և -\frac{7r}{2000}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

Գումարեք \frac{t}{1000} \frac{21t}{10000}-ին:

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

Գումարեք 0.008 -0.0147-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$0.0031t=-0.0067$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.0031-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$t=-\frac{67}{31}$$

Փոխարինեք -\frac{67}{31}-ը t-ով 0.05r-0.03t=0.21-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես r-ի համար:

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

Բազմապատկեք -0.03 անգամ -\frac{67}{31}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

Հանեք \frac{201}{3100} հավասարման երկու կողմից:

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 20-ով:

$$r=\frac{90}{31}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$