Լուծեք {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{130}{43}\approx 3,023255814$$

$$y=\frac{391}{43}\approx 9,093023256$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$0,6x+2y=20$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$0,6x=-2y+20$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0,6-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

Բազմապատկեք \frac{5}{3} անգամ -2y+20:

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-10y+100}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -4x+y+2=-1:

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{-10y+100}{3}:

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

Գումարեք \frac{40y}{3} y-ին:

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

Գումարեք -\frac{400}{3} 2-ին:

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

Գումարեք \frac{394}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{43}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{391}{43}$$

Փոխարինեք \frac{391}{43}-ը y-ով x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{10}{3} անգամ \frac{391}{43}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

Գումարեք \frac{100}{3} -\frac{3910}{129}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{130}{43}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0,6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0,6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0,6-2\left(-4\right)}&\frac{0,6}{0,6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

\frac{3x}{5}-ը և -4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 0,6-ով:

$$-4\times 0,6x-4\times 2y=-4\times 20;0,6\left(-4\right)x+0,6y+0,6\times 2=0,6\left(-1\right)$$

Պարզեցնել:

$$-2,4x-8y=-80;-2,4x+0,6y+1,2=-0,6$$

Հանեք -2,4x+0,6y+1,2=-0,6 -2,4x-8y=-80-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2,4x+2,4x-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

Գումարեք -\frac{12x}{5} \frac{12x}{5}-ին: -\frac{12x}{5}-ը և \frac{12x}{5}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

Գումարեք -8y -\frac{3y}{5}-ին:

$$-8,6y-1,2=-80+0,6$$

Գումարեք -80 0,6-ին:

$$-8,6y-1,2=-79,4$$

Գումարեք 1,2 հավասարման երկու կողմին:

$$-8,6y=-78,2$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -8,6-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{391}{43}$$

Փոխարինեք \frac{391}{43}-ը y-ով -4x+y+2=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

Գումարեք \frac{391}{43} 2-ին:

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

Հանեք \frac{477}{43} հավասարման երկու կողմից:

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=\frac{130}{43}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$