Լուծեք {l}{0,2x-0,3(2y+1)=1,5}{3(x+1)+3y=2y-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,2 x - 0,3 ( 2 y + 1 ) = 1,5 } \\ { 3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-0,6$$

$$y=-3,2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -0,3 2y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

Հավելել 0,3-ը երկու կողմերում:

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

Գումարեք 1,5 և 0,3 և ստացեք 1,8:

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3+3y=2y-2$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Համակցեք 3y և -2y և ստացեք y:

$$3x+3+y=-2$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$3x+y=-2-3$$

Հանեք 3 -2-ից և ստացեք -5:

$$3x+y=-5$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Գումարեք \frac{3y}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$0,2x=0,6y+1,8$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 5-ով:

$$x=5\left(0,6y+1,8\right)$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{3y+9}{5}:

$$x=3y+9$$

Փոխարինեք 9+3y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+y=-5:

$$3\left(3y+9\right)+y=-5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 9+3y:

$$9y+27+y=-5$$

Գումարեք 9y y-ին:

$$10y+27=-5$$

Հանեք 27 հավասարման երկու կողմից:

$$10y=-32$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=-\frac{16}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{16}{5}-ը y-ով x=3y+9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=3\left(-\frac{16}{5}\right)+9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{16}{5}:

$$x=-\frac{48}{5}+9$$

Գումարեք 9 -\frac{48}{5}-ին:

$$x=-\frac{3}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -0,3 2y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

Հավելել 0,3-ը երկու կողմերում:

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

Գումարեք 1,5 և 0,3 և ստացեք 1,8:

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3+3y=2y-2$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Համակցեք 3y և -2y և ստացեք y:

$$3x+3+y=-2$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$3x+y=-2-3$$

Հանեք 3 -2-ից և ստացեք -5:

$$3x+y=-5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}&-\frac{-0,6}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}\\-\frac{3}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}&\frac{0,2}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 1,8+\frac{3}{10}\left(-5\right)\\-\frac{3}{2}\times 1,8+\frac{1}{10}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -0,3 2y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

Հավելել 0,3-ը երկու կողմերում:

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

Գումարեք 1,5 և 0,3 և ստացեք 1,8:

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3+3y=2y-2$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Համակցեք 3y և -2y և ստացեք y:

$$3x+3+y=-2$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$3x+y=-2-3$$

Հանեք 3 -2-ից և ստացեք -5:

$$3x+y=-5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

\frac{x}{5}-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 0,2-ով:

$$3\times 0,2x+3\left(-0,6\right)y=3\times 1,8;0,2\times 3x+0,2y=0,2\left(-5\right)$$

Պարզեցնել:

$$0,6x-1,8y=5,4;0,6x+0,2y=-1$$

Հանեք 0,6x+0,2y=-1 0,6x-1,8y=5,4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$0,6x-0,6x-1,8y-0,2y=5,4+1$$

Գումարեք \frac{3x}{5} -\frac{3x}{5}-ին: \frac{3x}{5}-ը և -\frac{3x}{5}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-1,8y-0,2y=5,4+1$$

Գումարեք -\frac{9y}{5} -\frac{y}{5}-ին:

$$-2y=5,4+1$$

Գումարեք 5,4 1-ին:

$$-2y=6,4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=-\frac{16}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{16}{5}-ը y-ով 3x+y=-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-\frac{16}{5}=-5$$

Գումարեք \frac{16}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$3x=-\frac{9}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{3}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$