Լուծեք {l}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-x+5y=1$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-5y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -5y+1:

$$x=5y-1$$

Փոխարինեք 5y-1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x-5y=11:

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 5y-1:

$$-10y+2-5y=11$$

Գումարեք -10y -5y-ին:

$$-15y+2=11$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-15y=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=-\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{5}-ը y-ով x=5y-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{3}{5}:

$$x=-3-1$$

Գումարեք -1 -3-ին:

$$x=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

-x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

Պարզեցնել:

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

Հանեք 2x+5y=-11 2x-10y=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-10y-5y=-2+11$$

Գումարեք -10y -5y-ին:

$$-15y=-2+11$$

Գումարեք -2 11-ին:

$$-15y=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=-\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{5}-ը y-ով -2x-5y=11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -\frac{3}{5}:

$$-2x+3=11$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$