Լուծեք {l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-2$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-8x+4y=24$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$-8x=-4y+24$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{8} անգամ -4y+24:

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

Փոխարինեք \frac{y}{2}-3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -7x+7y=28:

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

Բազմապատկեք -7 անգամ \frac{y}{2}-3:

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

Գումարեք -\frac{7y}{2} 7y-ին:

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

Հանեք 21 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{7}{2}y=7$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=\frac{1}{2}y-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 2:

$$x=1-3$$

Գումարեք -3 1-ին:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-2,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

-8x-ը և -7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -8-ով:

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

Պարզեցնել:

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

Հանեք 56x-56y=-224 56x-28y=-168-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

Գումարեք 56x -56x-ին: 56x-ը և -56x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-28y+56y=-168+224$$

Գումարեք -28y 56y-ին:

$$28y=-168+224$$

Գումարեք -168 224-ին:

$$28y=56$$

Բաժանեք երկու կողմերը 28-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով -7x+7y=28-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-7x+7\times 2=28$$

Բազմապատկեք 7 անգամ 2:

$$-7x+14=28$$

Հանեք 14 հավասարման երկու կողմից:

$$-7x=14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=2$$