Լուծեք {l}{-7x-2y=14}{6x+6y=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 2 y = 14 } \\ { 6 x + 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-4$$

$$y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-7x-2y=14$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$-7x=2y+14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=-\frac{1}{7}\left(2y+14\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{7} անգամ 14+2y:

$$x=-\frac{2}{7}y-2$$

Փոխարինեք -\frac{2y}{7}-2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x+6y=18:

$$6\left(-\frac{2}{7}y-2\right)+6y=18$$

Բազմապատկեք 6 անգամ -\frac{2y}{7}-2:

$$-\frac{12}{7}y-12+6y=18$$

Գումարեք -\frac{12y}{7} 6y-ին:

$$\frac{30}{7}y-12=18$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{30}{7}y=30$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{30}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով x=-\frac{2}{7}y-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{7}\times 7-2$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{7} անգամ 7:

$$x=-2-2$$

Գումարեք -2 -2-ին:

$$x=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-4,y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{7}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 14-\frac{1}{15}\times 18\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{7}{30}\times 18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-4,y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

-7x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -7-ով:

$$6\left(-7\right)x+6\left(-2\right)y=6\times 14,-7\times 6x-7\times 6y=-7\times 18$$

Պարզեցնել:

$$-42x-12y=84,-42x-42y=-126$$

Հանեք -42x-42y=-126 -42x-12y=84-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-42x+42x-12y+42y=84+126$$

Գումարեք -42x 42x-ին: -42x-ը և 42x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-12y+42y=84+126$$

Գումարեք -12y 42y-ին:

$$30y=84+126$$

Գումարեք 84 126-ին:

$$30y=210$$

Բաժանեք երկու կողմերը 30-ի:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով 6x+6y=18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x+6\times 7=18$$

Բազմապատկեք 6 անգամ 7:

$$6x+42=18$$

Հանեք 42 հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-4,y=7$$